Expression analytique de la vitesse terminale (d'état stationnaire) d'une petite particule sphérique rigide soumise à la gravité et se déplaçant dans un fluide visqueux newtonien en régime d'écoulement visqueux (creeping flow). Pour une sphère de rayon r et de masse volumique ρp dans un fluide de masse volumique ρf et de viscosité dynamique μ, la loi de Stokes donne v = (2/9)·(r^2(ρp−ρf)g)/μ, sous les hypothèses Re ≪ 1, particule isolée, interactions parois/particules négligeables et fluide newtonien à propriétés constantes.

Principe

En régime visqueux rampant, l'équilibre entre la poussée d'Archimède (force motrice) et la traînée visqueuse de Stokes (force résistive) fixe une vitesse d'équilibre qui varie comme le carré du rayon, proportionnellement à la différence de densité et inversement à la viscosité.

Démonstration

Scénario illustratif : un faible volume d'une suspension diluée de sphères identiques est laissé au repos dans un fluide newtonien. Chaque sphère atteint rapidement une vitesse constante donnée par Stokes puisque la traînée visqueuse augmente avec la vitesse jusqu'à équilibrer la force nette de flottabilité.

Mauvaise application

Appliquer la loi de Stokes à des particules non sphériques, à des écoulements avec Re ≳ 0,1–1, à des suspensions concentrées ou à des fluides non newtoniens conduit à des vitesses erronées car les hypothèses de traînée et d'écoulement sont violées.

Conséquence

Lorsque valable, la loi de Stokes permet de prévoir des vitesses de décantation, l'efficacité de séparation des particules et le dimensionnement d'épuration; une mauvaise application entraîne des sous‑ ou surestimations systématiques des temps de décantation.

Inversion

Si l'inertie ou la formation de sillage devient importante, si la taille atteint le régime colloïdal (mouvement brownien) ou si la proximité des parois est significative, il faut remplacer l'expression de Stokes par des corrélations de traînée empiriques, des modèles de diffusion brownienne ou des facteurs de correction de paroi.

Limite

Clair dans : sphères rigides, lisses, isolées dans un fluide newtonien avec Re ≪ 1. Cas limite : Re ~ 0,1–1 ou concentration modérée — corrections nécessaires. Hors : écoulement turbulent, particules fortement non sphériques, agrégées ou déformables, fluides non newtoniens.

Tension sémantique

Simplicité analytique (dépendance fermée en r, ρ, μ) contre précision expérimentale (besoin de corrections lorsque la réalité s'écarte des hypothèses idéalisées).

Synthèse

La loi de Stokes est une relation limite mécanistique montrant comment la traînée visqueuse et la flottabilité fixent la vitesse d'équilibre d'une particule en creeping flow; elle sert de base prédictive quand ses hypothèses sont satisfaites et de point de départ pour corrections sinon.